Комп'ютерна підтримка рішення алгебраїчних задач засобами Geogebra

Одним з ефективних прийомів пошуку розв'язку рівнянь, нерівностей та їх систем, на думку багатьох методистів, є прийом геометричних інтерпретацій. Однак у практиці навчання алгебри і початків математичного аналізу він має обмежене застосування, пов'язане з великими витратами навчального часу та технічною складністю побудови геометричних інтерпретацій алгебраїчних об'єктів. Вирішення цієї проблеми ми бачимо у використанні можливостей інтерактивної геометричної середовища GeoGebra, так як ідейну основу її створення становить візуалізація зв'язків алгебри і геометрії. До можливостей цієї програми належить створення різних типів геометричних інтерпретацій, які дозволяють використовувати в процесі розв'язування алгебраїчних задач такі методи, як функціонально-графічний, геометричний і метод геометричного місця точок. Проілюструємо ці можливості GeoGebra конкретними прикладами. Для реалізації функціонально-графічного методу необхідно, як відомо, перевести умова алгебраїчної задачі в терміни взаємного розташування графіків елементарних функцій. При побудові «вручну» бажано вибирати функції так, щоб загальний вигляд їх графіків та властивостей були добре відомими. Використання GeoGebra дозволяє не витрачати час на підбір функцій і дослідження їх властивостей, так як для побудови графіка функції досить вести формулу, її диктує, в рядок введення. Приклад 1. Вирішити рівняння . Рішення. Введемо в розгляд функції. Використовуючи рядок введення, побудуємо графіки функцій у GeoGebra. Відзначаємо за допомогою інструменту «Перетин двох об'єктів» точку перетину графіків. Виведемо на екран ім'я і значення точки, використовуючи вкладку «Властивості». Абсциса є наближеним значенням кореня рівняння з обраної точністю (рис. 1).
Рис. 1. Геометрична інтерпретація для розв'язання задачі приклад 1 функціонально-графічним методом, виконана в GeoGebra.
За допомогою методу геометричних місць точок вдаються при розв'язанні алгебраїчних задач, що зводяться до систем (совокупностям) рівнянь і нерівностей з параметрами або двома змінними. Застосування цього методу вручну вимагає наявності в учнів обширних знань про рівняннях і нерівностях, задають опорні геометричні місця точок, хорошою логічної і теоретико-множинної підготовки учнів, що включає вміння знаходити перетин або об'єднання множин, побудованих на координатній площині, у відповідності зі змістом логічних операцій. Використання GeoGebra не вимагає володіння цими знаннями і вміннями. Дане середовище дозволяє отримувати геометричну інтерпретацію після запису в рядку введення сукупностей (систем) рівнянь і нерівностей з допомогою логічних зв'язок. Приклад 2. При яких значеннях параметра a всі рішення нерівності
негативні?
Рішення. Для використання методу геометричного місця точок при вирішенні даного нерівності необхідно перейменувати змінні а, x змінні x, y відповідно. Отримаємо завдання «знайти всі значення x, при яких рішеннями нерівності.


є тільки негативні значення y». Використовуючи метод перетворення логічної структури нерівності, отримаємо сукупність

Ввівши в рядок введення ((x^2+y^2≤4)∧(y>abs(x)))∨((x^2+y^2≥4)∧(y))

Рис. 2. Геометрична інтерпретація для розв'язання задачі приклад 2 методом геометричних місць точок, виконана в GeoGebra.
Абсциси точок A і B є лише наближеними значеннями шуканих значень параметра. Однак отримана геометрична інтерпретація дозволяє знайти точні значення з опорою на геометричні властивості побудованої конфігурації. Розглянемо трикутник OBC. Він є прямокутним і рівнобедреним з гіпотенузою, що дорівнює радіусу кола. Отже,Тоді
Остаточно одержуємо
Для застосування геометричного методу до розв'язання алгебраїчних задач необхідно надати змінних і виразів, що залежать від них, зміст геометричних величин. Потім побудувати фігуру, що володіє відповідними метричними властивостями. Отримана геометрична інтерпретація дозволяє знайти значення змінної з використанням знань про позиційних та метричних властивості фігури та її елементів. Очевидним обмеженням даного методу є знаходження лише невід'ємних значень змінної. Побудова геометричних фігур в GeoGebra дозволяє «зчитувати» шукане значення з креслення або знаходити його експериментально, використовуючи динамічність зображення. Рішення задачі прикладу 1 геометричним методом. Подкоренные вираження доданки в лівій частині рівняння подібні за структурою з теоремою косинусів для трикутників: 1) зі сторонами 5, x і кутом між ними 45°; 2) зі сторонами 12, x і кутом 45°. Тоді, інтерпретуючи рівняння на мові цих геометричних фігур, отримуємо, що сума сторін, що лежать проти кутів 45°, дорівнює 13. За допомогою інструменту «Бігунок» в GeoGebra введемо параметр x, це дозволить отримати динамічний креслення, що складається з описаних вище трикутників (рис. 3а, б). Для отримання відповіді достатньо, змінюючи положення повзунка, підібрати таке значення x, при якому сума довжин нас цікавлять сторін дорівнює 13. Зауважимо, що при несвязном побудову трикутників (рис. 3б) комп'ютерне рішення не
допомагає виявити аналітичне.
а)
б)

Рис. 3. Геометрична інтерпретація для розв'язання задачі приклад 1 геометричним методом, виконана в GeoGebra. Геометрична інтерпретація малюнка 3а дозволяє зробити висновок про те, що точка C лежить на гіпотенузі BD прямокутного трикутника ABD. Розглянемо трикутник ADC. За теоремою синусів
Із трикутника ABD знаходимо
Тоді

Всі представлені в статті приклади комп'ютерних рішень показують, що можливості інтерактивної геометричної середовища хоч і великі, але не безмежні. Так, якщо результат розв'язання задачі не може бути виражений цілим числом або кінцевої десятковим дробом, то комп'ютерне рішення не дозволить нам отримати точне значення результату. Крім того, комп'ютерне рішення завдання далеко не завжди узгоджується і допомагає виявити аналітичне рішення. Зауважимо також, що більшість інтерактивних геометричних середовищ мають обмеження у використанні, пов'язані з непродуманістю у всіх деталях алгоритмів їх розробки. Так, GeoGebra 4.2 дозволяє задавати через рядок введення будь залежності, розпізнає не всі точки перетину графічних об'єктів, поділяє смислові значення графічних об'єктів при використанні інструмента «Дослідник функцій», наприклад, не працює з графіками лінійних і квадратичних функцій, вважаючи їх геометричними об'єктами (конічними перерізами).